सोडोवचें {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y+13$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-3y+13क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

3x+6y=26 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+13}{4} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

\frac{-3y+13}{4}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

6y कडेन -\frac{9y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{39}{4} वजा करचें.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

\frac{15}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{13}{3}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} त y खातीर \frac{13}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{13}{3} क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{13}{4} क \frac{13}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

4x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

सोंपें करचें.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+9y=39 तल्यान 12x+24y=104 वजा करचो.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-24y=39-104$$

-24y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$-15y=39-104$$

-104 कडेन 39 ची बेरीज करची.

$$-15y=-65$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{13}{3}$$

3x+6y=26 त y खातीर \frac{13}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

\frac{13}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$3x+26=26$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 26 वजा करचें.

$$3x=0$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$