सोडोवचें {l}{4x+2y=7}{7x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 7 } \\ { 7 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+2y=7,7x+3y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+2y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$4x=-2y+7$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{4}$$

7x+3y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+\frac{7}{4} बदलपी घेवचो.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{4}\right)+3y=6$$

-\frac{y}{2}+\frac{7}{4}क 7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{49}{4}+3y=6$$

3y कडेन -\frac{7y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{49}{4}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{49}{4} वजा करचें.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{25}{4}$$

दोनूय कुशीनीं -2 न गुणचें.

$$y=\frac{25}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{4} त y खातीर \frac{25}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{2}+\frac{7}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{25}{2} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-25+7}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{25}{4} क \frac{7}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{9}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{9}{2},y=\frac{25}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+2y=7,7x+3y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 3-2\times 7}&\frac{4}{4\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&1\\\frac{7}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 7+6\\\frac{7}{2}\times 7-2\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{9}{2},y=\frac{25}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+2y=7,7x+3y=6$$

4x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 7,4\times 7x+4\times 3y=4\times 6$$

सोंपें करचें.

$$28x+14y=49,28x+12y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 28x+14y=49 तल्यान 28x+12y=24 वजा करचो.

$$28x-28x+14y-12y=49-24$$

-28x कडेन 28x ची बेरीज करची. अटी 28x आनी -28x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$14y-12y=49-24$$

-12y कडेन 14y ची बेरीज करची.

$$2y=49-24$$

-24 कडेन 49 ची बेरीज करची.

$$2y=25$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{25}{2}$$

7x+3y=6 त y खातीर \frac{25}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+3\times \frac{25}{2}=6$$

\frac{25}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$7x+\frac{75}{2}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{75}{2} वजा करचें.

$$7x=-\frac{63}{2}$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{9}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{9}{2},y=\frac{25}{2}$$