सोडोवचें {l}{4g-2h=-4}{12=h-4g}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 g - 2 h = - 4 } \\ { 12 = h - 4 g } \end{array} \right.$$

g, h खातीर सोडोवचें

$$g=-5$$

$$h=-8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$h-4g=12$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक g वेगळावन g खातीर तें सोडोवचें.

$$4g-2h=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2h ची बेरीज करची.

$$4g=2h-4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$g=\frac{1}{4}\left(2h-4\right)$$

-4+2hक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$g=\frac{1}{2}h-1$$

-4g+h=12 ह्या दुस-या समिकरणांत g खातीर \frac{h}{2}-1 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(\frac{1}{2}h-1\right)+h=12$$

\frac{h}{2}-1क -4 फावटी गुणचें.

$$-2h+4+h=12$$

h कडेन -2h ची बेरीज करची.

$$-h+4=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-h=8$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$h=-8$$

g=\frac{1}{2}h-1 त h खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी g खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$g=\frac{1}{2}\left(-8\right)-1$$

-8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$g=-4-1$$

-4 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$g=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$g=-5,h=-8$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$h-4g=12$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\left(-4\right)-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां g आनी h काडचीं.

$$g=-5,h=-8$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$h-4g=12$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

4g आनी -4g बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-4\times 4g-4\left(-2\right)h=-4\left(-4\right),4\left(-4\right)g+4h=4\times 12$$

सोंपें करचें.

$$-16g+8h=16,-16g+4h=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -16g+8h=16 तल्यान -16g+4h=48 वजा करचो.

$$-16g+16g+8h-4h=16-48$$

16g कडेन -16g ची बेरीज करची. अटी -16g आनी 16g रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8h-4h=16-48$$

-4h कडेन 8h ची बेरीज करची.

$$4h=16-48$$

-48 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$4h=-32$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$h=-8$$

-4g+h=12 त h खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी g खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4g-8=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$-4g=20$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$g=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$g=-5,h=-8$$