सोडोवचें {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d खातीर सोडोवचें

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a_{1} वेगळावन a_{1} खातीर तें सोडोवचें.

$$4a_{1}+6d=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6d वजा करचें.

$$4a_{1}=-6d+3$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

-6d+3क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

3a_{1}+21d=4 ह्या दुस-या समिकरणांत a_{1} खातीर -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21d कडेन -\frac{9d}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{4} वजा करचें.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

\frac{33}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} त d खातीर \frac{7}{66} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{7}{66} क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{7}{44} क \frac{3}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a_{1} आनी d काडचीं.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} आनी 3a_{1} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

सोंपें करचें.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12a_{1}+18d=9 तल्यान 12a_{1}+84d=16 वजा करचो.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1} कडेन 12a_{1} ची बेरीज करची. अटी 12a_{1} आनी -12a_{1} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$18d-84d=9-16$$

-84d कडेन 18d ची बेरीज करची.

$$-66d=9-16$$

-16 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$-66d=-7$$

दोनुय कुशींक -66 न भाग लावचो.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4 त d खातीर \frac{7}{66} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

\frac{7}{66}क 21 फावटी गुणचें.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{49}{22} वजा करचें.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$