सोडोवचें {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$4a+5b=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5b वजा करचें.

$$4a=-5b+9$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

-5b+9क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

2a-b=7 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-5b+9}{4} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

\frac{-5b+9}{4}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

-b कडेन -\frac{5b}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

-\frac{7}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=-\frac{5}{7}$$

a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} त b खातीर -\frac{5}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{5}{7} क -\frac{5}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{25}{28} क \frac{9}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{22}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a आनी 2a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

सोंपें करचें.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8a+10b=18 तल्यान 8a-4b=28 वजा करचो.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

-8a कडेन 8a ची बेरीज करची. अटी 8a आनी -8a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10b+4b=18-28$$

4b कडेन 10b ची बेरीज करची.

$$14b=18-28$$

-28 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$14b=-10$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$b=-\frac{5}{7}$$

2a-b=7 त b खातीर -\frac{5}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{7} वजा करचें.

$$2a=\frac{44}{7}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$a=\frac{22}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$