सोडोवचें {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$36x-5y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$36x=5y+7$$

दोनुय कुशींक 36 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

5y+7क \frac{1}{36} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

6x+3y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y+7}{36} बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

\frac{5y+7}{36}क 6 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

3y कडेन \frac{5y}{6} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{6} वजा करचें.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

\frac{23}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} त y खातीर \frac{41}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{41}{23} क \frac{5}{36} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{205}{828} क \frac{7}{36} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{61}{138}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 36 न गुणचें.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

सोंपें करचें.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 216x-30y=42 तल्यान 216x+108y=288 वजा करचो.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

-216x कडेन 216x ची बेरीज करची. अटी 216x आनी -216x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-30y-108y=42-288$$

-108y कडेन -30y ची बेरीज करची.

$$-138y=42-288$$

-288 कडेन 42 ची बेरीज करची.

$$-138y=-246$$

दोनुय कुशींक -138 न भाग लावचो.

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8 त y खातीर \frac{41}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

\frac{41}{23}क 3 फावटी गुणचें.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{123}{23} वजा करचें.

$$6x=\frac{61}{23}$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{61}{138}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$