सोडोवचें {l}{30f_{1}+40f_{2}=285}{30f_{1}+30f_{2}=+270}

$$\left. \begin{array} { l } { 30 f _ { 1 } + 40 f _ { 2 } = 285 } \\ { 30 f _ { 1 } + 30 f _ { 2 } = + 270 } \end{array} \right.$$

f_1, f_2 खातीर सोडोवचें

$$f_{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$f_{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक f_{1} वेगळावन f_{1} खातीर तें सोडोवचें.

$$30f_{1}+40f_{2}=285$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 40f_{2} वजा करचें.

$$30f_{1}=-40f_{2}+285$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$f_{1}=\frac{1}{30}\left(-40f_{2}+285\right)$$

-40f_{2}+285क \frac{1}{30} फावटी गुणचें.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}$$

30f_{1}+30f_{2}=270 ह्या दुस-या समिकरणांत f_{1} खातीर -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2} बदलपी घेवचो.

$$30\left(-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}\right)+30f_{2}=270$$

-\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2}क 30 फावटी गुणचें.

$$-40f_{2}+285+30f_{2}=270$$

30f_{2} कडेन -40f_{2} ची बेरीज करची.

$$-10f_{2}+285=270$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 285 वजा करचें.

$$-10f_{2}=-15$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2} त f_{2} खातीर \frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी f_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{19}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{3}{2} क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$f_{1}=-2+\frac{19}{2}$$

-2 कडेन \frac{19}{2} ची बेरीज करची.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 30}\\-\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&\frac{30}{30\times 30-40\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 285+\frac{2}{15}\times 270\\\frac{1}{10}\times 285-\frac{1}{10}\times 270\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां f_{1} आनी f_{2} काडचीं.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30f_{1}+40f_{2}=285 तल्यान 30f_{1}+30f_{2}=270 वजा करचो.

$$30f_{1}-30f_{1}+40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

-30f_{1} कडेन 30f_{1} ची बेरीज करची. अटी 30f_{1} आनी -30f_{1} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

-30f_{2} कडेन 40f_{2} ची बेरीज करची.

$$10f_{2}=285-270$$

-270 कडेन 285 ची बेरीज करची.

$$10f_{2}=15$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

30f_{1}+30f_{2}=270 त f_{2} खातीर \frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी f_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$30f_{1}+30\times \frac{3}{2}=270$$

\frac{3}{2}क 30 फावटी गुणचें.

$$30f_{1}+45=270$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें.

$$30f_{1}=225$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$