सोडोवचें {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=39$$

$$y=15$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3y-6-x=0$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x-9-2y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$x-2y=9$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$3y-x=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x ची बेरीज करची.

$$3y=x+6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

x+6क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

-2y+x=9 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{x}{3}+2 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

\frac{x}{3}+2क -2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

x कडेन -\frac{2x}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{3}x=13$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x=39$$

y=\frac{1}{3}x+2 त x खातीर 39 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

39क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=13+2$$

13 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$y=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=15,x=39$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3y-6-x=0$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x-9-2y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$x-2y=9$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=15,x=39$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3y-6-x=0$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3y-x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x-9-2y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$x-2y=9$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

3y आनी -2y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

सोंपें करचें.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6y+2x=-12 तल्यान -6y+3x=27 वजा करचो.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

6y कडेन -6y ची बेरीज करची. अटी -6y आनी 6y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2x-3x=-12-27$$

-3x कडेन 2x ची बेरीज करची.

$$-x=-12-27$$

-27 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$-x=-39$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=39$$

-2y+x=9 त x खातीर 39 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2y+39=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 39 वजा करचें.

$$-2y=-30$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=15,x=39$$