सोडोवचें {l}{3y+5x=4}{6y-10x=-32}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 5 x = 4 } \\ { 6 y - 10 x = - 32 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$3y+5x=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$3y=-5x+4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{3}\left(-5x+4\right)$$

-5x+4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}$$

6y-10x=-32 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{-5x+4}{3} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}\right)-10x=-32$$

\frac{-5x+4}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$-10x+8-10x=-32$$

-10x कडेन -10x ची बेरीज करची.

$$-20x+8=-32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-20x=-40$$

दोनुय कुशींक -20 न भाग लावचो.

$$x=2$$

y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3} त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{4}{3}$$

2क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{-10+4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{10}{3} क \frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-2,x=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-5\times 6}&-\frac{5}{3\left(-10\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-10\right)-5\times 6}&\frac{3}{3\left(-10\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{12}\left(-32\right)\\\frac{1}{10}\times 4-\frac{1}{20}\left(-32\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-2,x=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3y+5x=4,6y-10x=-32$$

3y आनी 6y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$6\times 3y+6\times 5x=6\times 4,3\times 6y+3\left(-10\right)x=3\left(-32\right)$$

सोंपें करचें.

$$18y+30x=24,18y-30x=-96$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18y+30x=24 तल्यान 18y-30x=-96 वजा करचो.

$$18y-18y+30x+30x=24+96$$

-18y कडेन 18y ची बेरीज करची. अटी 18y आनी -18y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$30x+30x=24+96$$

30x कडेन 30x ची बेरीज करची.

$$60x=24+96$$

96 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$60x=120$$

दोनुय कुशींक 60 न भाग लावचो.

$$x=2$$

6y-10x=-32 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6y-10\times 2=-32$$

2क -10 फावटी गुणचें.

$$6y-20=-32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$6y=-12$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-2,x=2$$