सोडोवचें {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=75$$

$$y=-25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$3y+2x=75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$3y=-2x+75$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

-2x+75क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

y+x=50 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -\frac{2x}{3}+25 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

x कडेन -\frac{2x}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 वजा करचें.

$$\frac{1}{3}x=25$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x=75$$

y=-\frac{2}{3}x+25 त x खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

75क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$y=-50+25$$

-50 कडेन 25 ची बेरीज करची.

$$y=-25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-25,x=75$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-25,x=75$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y आनी y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

सोंपें करचें.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3y+2x=75 तल्यान 3y+3x=150 वजा करचो.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2x-3x=75-150$$

-3x कडेन 2x ची बेरीज करची.

$$-x=75-150$$

-150 कडेन 75 ची बेरीज करची.

$$-x=-75$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=75$$

y+x=50 त x खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y+75=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 75 वजा करचें.

$$y=-25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-25,x=75$$