सोडोवचें {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-y-2=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$3x-y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$3x=y+2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

y+2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

2x+y-8=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

\frac{2+y}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

y कडेन \frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

-8 कडेन \frac{4}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{20}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{3} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

सोंपें करचें.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-2y-4=0 तल्यान 6x+3y-24=0 वजा करचो.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y-3y-4+24=0$$

-3y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-5y-4+24=0$$

24 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$-5y+20=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$-5y=-20$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=4$$

2x+y-8=0 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+4-8=0$$

-8 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$2x-4=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$2x=4$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=4$$