सोडोवचें {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=-7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-y+2=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$3x-y=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$3x=y-2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

y-2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

5x-2y+1=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

\frac{-2+y}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

-2y कडेन \frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

1 कडेन -\frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

दोनूय कुशीनीं -3 न गुणचें.

$$y=-7$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} त y खातीर -7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

-7क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{7}{3} क -\frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=-7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

3x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

सोंपें करचें.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-5y+10=0 तल्यान 15x-6y+3=0 वजा करचो.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-5y+6y+10-3=0$$

6y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$y+10-3=0$$

-3 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$y+7=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$y=-7$$

5x-2y+1=0 त y खातीर -7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

-7क -2 फावटी गुणचें.

$$5x+14+1=0$$

1 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$5x+15=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$5x=-15$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-7$$