सोडोवचें {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-9-y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$9y+3-x=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$9y-x=-3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$3x=y+9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

y+9क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

-x+9y=-3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{3}+3 बदलपी घेवचो.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

\frac{y}{3}+3क -1 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

9y कडेन -\frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{3}y=0$$

\frac{26}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=0$$

x=\frac{1}{3}y+3 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-9-y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$9y+3-x=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$9y-x=-3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-9-y=0$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$3x-y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$9y+3-x=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$9y-x=-3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

3x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

सोंपें करचें.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3x+y=-9 तल्यान -3x+27y=-9 वजा करचो.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

3x कडेन -3x ची बेरीज करची. अटी -3x आनी 3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-27y=-9+9$$

-27y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-26y=-9+9$$

9 कडेन -9 ची बेरीज करची.

$$-26y=0$$

दोनुय कुशींक -26 न भाग लावचो.

$$y=0$$

-x+9y=-3 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x=-3$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=0$$