सोडोवचें {l}{3x-2y=7}{7x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 7 } \\ { 7 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-2y=7,7x+3y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-2y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$3x=2y+7$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

2y+7क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

7x+3y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y+7}{3} बदलपी घेवचो.

$$7\left(\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+3y=1$$

\frac{2y+7}{3}क 7 फावटी गुणचें.

$$\frac{14}{3}y+\frac{49}{3}+3y=1$$

3y कडेन \frac{14y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{3}y+\frac{49}{3}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{49}{3} वजा करचें.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{46}{3}$$

\frac{23}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

-2क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{4}{3} क \frac{7}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-2y=7,7x+3y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{3\times 3-\left(-2\times 7\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{2}{23}\\-\frac{7}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 7+\frac{2}{23}\\-\frac{7}{23}\times 7+\frac{3}{23}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-2y=7,7x+3y=1$$

3x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$7\times 3x+7\left(-2\right)y=7\times 7,3\times 7x+3\times 3y=3$$

सोंपें करचें.

$$21x-14y=49,21x+9y=3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 21x-14y=49 तल्यान 21x+9y=3 वजा करचो.

$$21x-21x-14y-9y=49-3$$

-21x कडेन 21x ची बेरीज करची. अटी 21x आनी -21x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-14y-9y=49-3$$

-9y कडेन -14y ची बेरीज करची.

$$-23y=49-3$$

-3 कडेन 49 ची बेरीज करची.

$$-23y=46$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

7x+3y=1 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+3\left(-2\right)=1$$

-2क 3 फावटी गुणचें.

$$7x-6=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$7x=7$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-2$$