सोडोवचें {l}{3x+5y=9}{2x+8y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x + 8 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

$$y=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+5y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$3x=-5y+9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

-5y+9क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

2x+8y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{3}+3 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)+8y=8$$

-\frac{5y}{3}+3क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}y+6+8y=8$$

8y कडेन -\frac{10y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{14}{3}y+6=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$\frac{14}{3}y=2$$

\frac{14}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{3}{7}$$

x=-\frac{5}{3}y+3 त y खातीर \frac{3}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{7}+3$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{3}{7} क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{5}{7}+3$$

-\frac{5}{7} कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{16}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 8-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 8-5\times 2}&\frac{3}{3\times 8-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{5}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 9-\frac{5}{14}\times 8\\-\frac{1}{7}\times 9+\frac{3}{14}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+5y=9,2x+8y=8$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\times 8y=3\times 8$$

सोंपें करचें.

$$6x+10y=18,6x+24y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+10y=18 तल्यान 6x+24y=24 वजा करचो.

$$6x-6x+10y-24y=18-24$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-24y=18-24$$

-24y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$-14y=18-24$$

-24 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$-14y=-6$$

दोनुय कुशींक -14 न भाग लावचो.

$$y=\frac{3}{7}$$

2x+8y=8 त y खातीर \frac{3}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+8\times \frac{3}{7}=8$$

\frac{3}{7}क 8 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{24}{7}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{7} वजा करचें.

$$2x=\frac{32}{7}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{16}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{3}{7}$$