सोडोवचें {l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-6$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+5y=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$3x=-5y-8$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

-5y-8क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

4x+13y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y-8}{3} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

\frac{-5y-8}{3}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

13y कडेन -\frac{20y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{32}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

\frac{19}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

2क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{10}{3} क -\frac{8}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-6,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

3x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

सोंपें करचें.

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+20y=-32 तल्यान 12x+39y=6 वजा करचो.

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20y-39y=-32-6$$

-39y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$-19y=-32-6$$

-6 कडेन -32 ची बेरीज करची.

$$-19y=-38$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=2$$

4x+13y=2 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+13\times 2=2$$

2क 13 फावटी गुणचें.

$$4x+26=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 26 वजा करचें.

$$4x=-24$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=2$$