सोडोवचें {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=15$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=85$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y+85$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

-4y+85क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

x+y=25 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y+85}{3} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

y कडेन -\frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{85}{3} वजा करचें.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

दोनूय कुशीनीं -3 न गुणचें.

$$y=10$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3} त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

10क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{40}{3} क \frac{85}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=15,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

सोंपें करचें.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+4y=85 तल्यान 3x+3y=75 वजा करचो.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-3y=85-75$$

-3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$y=85-75$$

-75 कडेन 85 ची बेरीज करची.

$$y=10$$

x+y=25 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+10=25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=10$$