सोडोवचें {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y+3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

-4y+3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

8x+7y=14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{4y}{3}+1 बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

-\frac{4y}{3}+1क 8 फावटी गुणचें.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

7y कडेन -\frac{32y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

-\frac{11}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{18}{11}$$

x=-\frac{4}{3}y+1 त y खातीर -\frac{18}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{18}{11} क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

\frac{24}{11} कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{35}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

सोंपें करचें.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 24x+32y=24 तल्यान 24x+21y=42 वजा करचो.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

-24x कडेन 24x ची बेरीज करची. अटी 24x आनी -24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$32y-21y=24-42$$

-21y कडेन 32y ची बेरीज करची.

$$11y=24-42$$

-42 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$11y=-18$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{18}{11}$$

8x+7y=14 त y खातीर -\frac{18}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

-\frac{18}{11}क 7 फावटी गुणचें.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{126}{11} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{280}{11}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{35}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$