सोडोवचें {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y+28$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

-4y+28क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

9x-6y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y+28}{3} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

\frac{-4y+28}{3}क 9 फावटी गुणचें.

$$-12y+84-6y=8$$

-6y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-18y+84=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 84 वजा करचें.

$$-18y=-76$$

दोनुय कुशींक -18 न भाग लावचो.

$$y=\frac{38}{9}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3} त y खातीर \frac{38}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{38}{9} क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{152}{27} क \frac{28}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{100}{27}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

3x आनी 9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

सोंपें करचें.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 27x+36y=252 तल्यान 27x-18y=24 वजा करचो.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

-27x कडेन 27x ची बेरीज करची. अटी 27x आनी -27x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y+18y=252-24$$

18y कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$54y=252-24$$

-24 कडेन 252 ची बेरीज करची.

$$54y=228$$

दोनुय कुशींक 54 न भाग लावचो.

$$y=\frac{38}{9}$$

9x-6y=8 त y खातीर \frac{38}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

\frac{38}{9}क -6 फावटी गुणचें.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{76}{3} ची बेरीज करची.

$$9x=\frac{100}{3}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{100}{27}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$