सोडोवचें {l}{3x+4y=2}{3x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 2 } \\ { 3 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=2,3x+10y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y+2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+2\right)$$

-4y+2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}$$

3x+10y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y+2}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}\right)+10y=10$$

\frac{-4y+2}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$-4y+2+10y=10$$

10y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$6y+2=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$6y=8$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3} त y खातीर \frac{4}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{3}+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{4}{3} क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{16}{9}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{16}{9} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{10}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{4}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=2,3x+10y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3\times 10-4\times 3}&-\frac{4}{3\times 10-4\times 3}\\-\frac{3}{3\times 10-4\times 3}&\frac{3}{3\times 10-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{2}{9}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{9}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{4}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=2,3x+10y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+4y=2 तल्यान 3x+10y=10 वजा करचो.

$$3x-3x+4y-10y=2-10$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-10y=2-10$$

-10y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-6y=2-10$$

-10 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$-6y=-8$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{3}$$

3x+10y=10 त y खातीर \frac{4}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+10\times \frac{4}{3}=10$$

\frac{4}{3}क 10 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{40}{3}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{40}{3} वजा करचें.

$$3x=-\frac{10}{3}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{10}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{4}{3}$$