सोडोवचें {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+2y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x=-2y+7$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

5x-2y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+7}{3} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

\frac{-2y+7}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

-2y कडेन -\frac{10y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{35}{3} वजा करचें.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

-\frac{16}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{25}{8}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} त y खातीर \frac{25}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{25}{8} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{25}{12} क \frac{7}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

3x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x+10y=35 तल्यान 15x-6y=-15 वजा करचो.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y+6y=35+15$$

6y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$16y=35+15$$

15 कडेन 35 ची बेरीज करची.

$$16y=50$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$y=\frac{25}{8}$$

5x-2y=-5 त y खातीर \frac{25}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

\frac{25}{8}क -2 फावटी गुणचें.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25}{4} ची बेरीज करची.

$$5x=\frac{5}{4}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$