सोडोवचें {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+2y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x=-2y+4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

-2y+4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

6x+3y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+4}{3} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

\frac{-2y+4}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$-4y+8+3y=10$$

3y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-y+8=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-y=2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

-2क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{3} क \frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{8}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

3x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

सोंपें करचें.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x+12y=24 तल्यान 18x+9y=30 वजा करचो.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-9y=24-30$$

-9y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$3y=24-30$$

-30 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$3y=-6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

6x+3y=10 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

-2क 3 फावटी गुणचें.

$$6x-6=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$6x=16$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{8}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$