सोडोवचें {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+2y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x=-2y-1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

-2y-1क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

6x+6y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y-1}{3} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

\frac{-2y-1}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$-4y-2+6y=-5$$

6y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$2y-2=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$2y=-3$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{2}$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} त y खातीर -\frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3}{2} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

1 कडेन -\frac{1}{3} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

3x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x+12y=-6 तल्यान 18x+18y=-15 वजा करचो.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-18y=-6+15$$

-18y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-6y=-6+15$$

15 कडेन -6 ची बेरीज करची.

$$-6y=9$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{2}$$

6x+6y=-5 त y खातीर -\frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

-\frac{3}{2}क 6 फावटी गुणचें.

$$6x-9=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$6x=4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$