सोडोवचें {l}{3x+10y=40}{y=3/10x-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 40 } \\ { y = \frac { 3 } { 10 } x - 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} \approx 18.333333333$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{10}x वजा करचें.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+10y=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$3x=-10y+40$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+40\right)$$

-10y+40क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}$$

-\frac{3}{10}x+y=-7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-10y+40}{3} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{10}\left(-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}\right)+y=-7$$

\frac{-10y+40}{3}क -\frac{3}{10} फावटी गुणचें.

$$y-4+y=-7$$

y कडेन y ची बेरीज करची.

$$2y-4=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$2y=-3$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{2}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3} त y खातीर -\frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{40}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3}{2} क -\frac{10}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5+\frac{40}{3}$$

5 कडेन \frac{40}{3} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{55}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{10}x वजा करचें.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{10}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{10}}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{3}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 40-\frac{5}{3}\left(-7\right)\\\frac{1}{20}\times 40+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{10}x वजा करचें.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

3x आनी -\frac{3x}{10} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -\frac{3}{10} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-\frac{3}{10}\times 3x-\frac{3}{10}\times 10y=-\frac{3}{10}\times 40,3\left(-\frac{3}{10}\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

सोंपें करचें.

$$-\frac{9}{10}x-3y=-12,-\frac{9}{10}x+3y=-21$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -\frac{9}{10}x-3y=-12 तल्यान -\frac{9}{10}x+3y=-21 वजा करचो.

$$-\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}x-3y-3y=-12+21$$

\frac{9x}{10} कडेन -\frac{9x}{10} ची बेरीज करची. अटी -\frac{9x}{10} आनी \frac{9x}{10} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y-3y=-12+21$$

-3y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-6y=-12+21$$

21 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$-6y=9$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{3}{10}x+y=-7 त y खातीर -\frac{3}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{3}{2}=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{3}{10}x=-\frac{11}{2}$$

-\frac{3}{10} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{55}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$