सोडोवचें {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z खातीर सोडोवचें

$$z=5$$

$$w=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक w वेगळावन w खातीर तें सोडोवचें.

$$3w-2z=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2z ची बेरीज करची.

$$3w=2z+5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

2z+5क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

w+2z=15 ह्या दुस-या समिकरणांत w खातीर \frac{2z+5}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

2z कडेन \frac{2z}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{3} वजा करचें.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} त z खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

5क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{10}{3} क \frac{5}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$w=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=5,z=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां w आनी z काडचीं.

$$w=5,z=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w आनी w बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

सोंपें करचें.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3w-2z=5 तल्यान 3w+6z=45 वजा करचो.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

-3w कडेन 3w ची बेरीज करची. अटी 3w आनी -3w रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2z-6z=5-45$$

-6z कडेन -2z ची बेरीज करची.

$$-8z=5-45$$

-45 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$-8z=-40$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$z=5$$

w+2z=15 त z खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$w+2\times 5=15$$

5क 2 फावटी गुणचें.

$$w+10=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$w=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=5,z=5$$