सोडोवचें {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z खातीर सोडोवचें

$$z=3$$

$$u=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक u वेगळावन u खातीर तें सोडोवचें.

$$3u+z=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान z वजा करचें.

$$3u=-z+15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

-z+15क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

u+2z=10 ह्या दुस-या समिकरणांत u खातीर -\frac{z}{3}+5 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

2z कडेन -\frac{z}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$\frac{5}{3}z=5$$

\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5 त z खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

3क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$u=-1+5$$

-1 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$u=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=4,z=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां u आनी z काडचीं.

$$u=4,z=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u आनी u बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

सोंपें करचें.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3u+z=15 तल्यान 3u+6z=30 वजा करचो.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

-3u कडेन 3u ची बेरीज करची. अटी 3u आनी -3u रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$z-6z=15-30$$

-6z कडेन z ची बेरीज करची.

$$-5z=15-30$$

-30 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-5z=-15$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$z=3$$

u+2z=10 त z खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u+2\times 3=10$$

3क 2 फावटी गुणचें.

$$u+6=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$u=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=4,z=3$$