सोडोवचें {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक u वेगळावन u खातीर तें सोडोवचें.

$$3u+5x=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$3u=-5x+8$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

-5x+8क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

5u+5x=14 ह्या दुस-या समिकरणांत u खातीर \frac{-5x+8}{3} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

\frac{-5x+8}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

5x कडेन -\frac{25x}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{40}{3} वजा करचें.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

-\frac{10}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} त x खातीर -\frac{1}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{1}{5} क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{3} क \frac{8}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$u=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां u आनी x काडचीं.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3u+5x=8 तल्यान 5u+5x=14 वजा करचो.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3u-5u=8-14$$

-5u कडेन 3u ची बेरीज करची.

$$-2u=8-14$$

-14 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$-2u=-6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$u=3$$

5u+5x=14 त u खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5\times 3+5x=14$$

3क 5 फावटी गुणचें.

$$15+5x=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$5x=-1$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$