सोडोवचें {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z खातीर सोडोवचें

$$z=-3$$

$$c=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक c वेगळावन c खातीर तें सोडोवचें.

$$3c+5z=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5z वजा करचें.

$$3c=-5z-15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

-5z-15क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

5c+3z=-9 ह्या दुस-या समिकरणांत c खातीर -\frac{5z}{3}-5 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

-\frac{5z}{3}-5क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

3z कडेन -\frac{25z}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

-\frac{16}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5 त z खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-3क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$c=5-5$$

5 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$c=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=0,z=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां c आनी z काडचीं.

$$c=0,z=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c आनी 5c बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

सोंपें करचें.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15c+25z=-75 तल्यान 15c+9z=-27 वजा करचो.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

-15c कडेन 15c ची बेरीज करची. अटी 15c आनी -15c रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25z-9z=-75+27$$

-9z कडेन 25z ची बेरीज करची.

$$16z=-75+27$$

27 कडेन -75 ची बेरीज करची.

$$16z=-48$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$z=-3$$

5c+3z=-9 त z खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

-3क 3 फावटी गुणचें.

$$5c-9=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$5c=0$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$c=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=0,z=-3$$