सोडोवचें {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

c, x खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$c=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक c वेगळावन c खातीर तें सोडोवचें.

$$3c+2x=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$3c=-2x+5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

-2x+5क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

2c+4x=6 ह्या दुस-या समिकरणांत c खातीर \frac{-2x+5}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

\frac{-2x+5}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

4x कडेन -\frac{4x}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} वजा करचें.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=1$$

c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3} त x खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{2}{3} क \frac{5}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$c=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=1,x=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां c आनी x काडचीं.

$$c=1,x=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c आनी 2c बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

सोंपें करचें.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6c+4x=10 तल्यान 6c+12x=18 वजा करचो.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

-6c कडेन 6c ची बेरीज करची. अटी 6c आनी -6c रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4x-12x=10-18$$

-12x कडेन 4x ची बेरीज करची.

$$-8x=10-18$$

-18 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$-8x=-8$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=1$$

2c+4x=6 त x खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2c+4=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$2c=2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$c=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=1,x=1$$