सोडोवचें {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$3a+b=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$3a=-b-3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

-b-3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

2a-b=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर -\frac{b}{3}-1 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

-\frac{b}{3}-1क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

-b कडेन -\frac{2b}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

-\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=-\frac{3}{5}$$

a=-\frac{1}{3}b-1 त b खातीर -\frac{3}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3}{5} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

\frac{1}{5} कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$a=-\frac{4}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a आनी 2a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6a+2b=-6 तल्यान 6a-3b=-3 वजा करचो.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

-6a कडेन 6a ची बेरीज करची. अटी 6a आनी -6a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2b+3b=-6+3$$

3b कडेन 2b ची बेरीज करची.

$$5b=-6+3$$

3 कडेन -6 ची बेरीज करची.

$$5b=-3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$b=-\frac{3}{5}$$

2a-b=-1 त b खातीर -\frac{3}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{5} वजा करचें.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$a=-\frac{4}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$