सोडोवचें {l}{3a+2b=2}{-2a+3b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 2 } \\ { - 2 a + 3 b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$b=\frac{10}{13}\approx 0.769230769$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$3a+2b=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2b वजा करचें.

$$3a=-2b+2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+2\right)$$

-2b+2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

-2a+3b=2 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-2b+2}{3} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}\right)+3b=2$$

\frac{-2b+2}{3}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}+3b=2$$

3b कडेन \frac{4b}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{3}b-\frac{4}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{3}b=\frac{10}{3}$$

\frac{13}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{10}{13}$$

a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} त b खातीर \frac{10}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{10}{13}+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{10}{13} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-\frac{20}{39}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{20}{39} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{2}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 2\\\frac{2}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

3a आनी -2a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-2\times 3a-2\times 2b=-2\times 2,3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\times 2$$

सोंपें करचें.

$$-6a-4b=-4,-6a+9b=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6a-4b=-4 तल्यान -6a+9b=6 वजा करचो.

$$-6a+6a-4b-9b=-4-6$$

6a कडेन -6a ची बेरीज करची. अटी -6a आनी 6a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4b-9b=-4-6$$

-9b कडेन -4b ची बेरीज करची.

$$-13b=-4-6$$

-6 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$-13b=-10$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$b=\frac{10}{13}$$

-2a+3b=2 त b खातीर \frac{10}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2a+3\times \frac{10}{13}=2$$

\frac{10}{13}क 3 फावटी गुणचें.

$$-2a+\frac{30}{13}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{30}{13} वजा करचें.

$$-2a=-\frac{4}{13}$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$a=\frac{2}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$