सोडोवचें {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c खातीर सोडोवचें

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक A वेगळावन A खातीर तें सोडोवचें.

$$3A-13c=-255$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13c ची बेरीज करची.

$$3A=13c-255$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

13c-255क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

31A-6c=-180 ह्या दुस-या समिकरणांत A खातीर \frac{13c}{3}-85 बदलपी घेवचो.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

\frac{13c}{3}-85क 31 फावटी गुणचें.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

-6c कडेन \frac{403c}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2635 ची बेरीज करची.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

\frac{385}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85 त c खातीर \frac{1473}{77} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी A खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1473}{77} क \frac{13}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

\frac{6383}{77} कडेन -85 ची बेरीज करची.

$$A=-\frac{162}{77}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां A आनी c काडचीं.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A आनी 31A बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 31 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

सोंपें करचें.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 93A-403c=-7905 तल्यान 93A-18c=-540 वजा करचो.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

-93A कडेन 93A ची बेरीज करची. अटी 93A आनी -93A रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-403c+18c=-7905+540$$

18c कडेन -403c ची बेरीज करची.

$$-385c=-7905+540$$

540 कडेन -7905 ची बेरीज करची.

$$-385c=-7365$$

दोनुय कुशींक -385 न भाग लावचो.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180 त c खातीर \frac{1473}{77} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी A खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

\frac{1473}{77}क -6 फावटी गुणचें.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8838}{77} ची बेरीज करची.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

दोनुय कुशींक 31 न भाग लावचो.

$$A=-\frac{162}{77}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$