सोडोवचें {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T खातीर सोडोवचें

$$c=3000$$

$$T=3500$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक c वेगळावन c खातीर तें सोडोवचें.

$$25c+22T=152000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22T वजा करचें.

$$25c=-22T+152000$$

दोनुय कुशींक 25 न भाग लावचो.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

-22T+152000क \frac{1}{25} फावटी गुणचें.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

11c+12T=75000 ह्या दुस-या समिकरणांत c खातीर -\frac{22T}{25}+6080 बदलपी घेवचो.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

-\frac{22T}{25}+6080क 11 फावटी गुणचें.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

12T कडेन -\frac{242T}{25} ची बेरीज करची.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 66880 वजा करचें.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

\frac{58}{25} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080 त T खातीर 3500 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

3500क -\frac{22}{25} फावटी गुणचें.

$$c=-3080+6080$$

-3080 कडेन 6080 ची बेरीज करची.

$$c=3000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=3000,T=3500$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां c आनी T काडचीं.

$$c=3000,T=3500$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c आनी 11c बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 25 न गुणचें.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

सोंपें करचें.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 275c+242T=1672000 तल्यान 275c+300T=1875000 वजा करचो.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

-275c कडेन 275c ची बेरीज करची. अटी 275c आनी -275c रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

-300T कडेन 242T ची बेरीज करची.

$$-58T=1672000-1875000$$

-1875000 कडेन 1672000 ची बेरीज करची.

$$-58T=-203000$$

दोनुय कुशींक -58 न भाग लावचो.

$$T=3500$$

11c+12T=75000 त T खातीर 3500 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$11c+12\times 3500=75000$$

3500क 12 फावटी गुणचें.

$$11c+42000=75000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 42000 वजा करचें.

$$11c=33000$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$c=3000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=3000,T=3500$$