सोडोवचें {l}{2y-8=-x}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 8 = - x } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी x जोडचे.

$$2y-8+x=0$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2y+x=8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$2y+x=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$2y=-x+8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{2}\left(-x+8\right)$$

-x+8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{1}{2}x+4$$

3y+4x=7 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -\frac{x}{2}+4 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}x+4\right)+4x=7$$

-\frac{x}{2}+4क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}x+12+4x=7$$

4x कडेन -\frac{3x}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}x+12=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$\frac{5}{2}x=-5$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-2$$

y=-\frac{1}{2}x+4 त x खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+4$$

-2क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$y=1+4$$

1 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी x जोडचे.

$$2y-8+x=0$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2y+x=8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{1}{2\times 4-3}\\-\frac{3}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=5,x=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी x जोडचे.

$$2y-8+x=0$$

दोनूय वटांनी 8 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$2y+x=8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

2y आनी 3y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2y+3x=3\times 8,2\times 3y+2\times 4x=2\times 7$$

सोंपें करचें.

$$6y+3x=24,6y+8x=14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6y+3x=24 तल्यान 6y+8x=14 वजा करचो.

$$6y-6y+3x-8x=24-14$$

-6y कडेन 6y ची बेरीज करची. अटी 6y आनी -6y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3x-8x=24-14$$

-8x कडेन 3x ची बेरीज करची.

$$-5x=24-14$$

-14 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$-5x=10$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-2$$

3y+4x=7 त x खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3y+4\left(-2\right)=7$$

-2क 4 फावटी गुणचें.

$$3y-8=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$3y=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=5,x=-2$$