सोडोवचें {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 खातीर सोडोवचें

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x_{1} वेगळावन x_{1} खातीर तें सोडोवचें.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3x_{2} वजा करचें.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

-3x_{2}+7क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 ह्या दुस-या समिकरणांत x_{1} खातीर \frac{-3x_{2}+7}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

\frac{-3x_{2}+7}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2} कडेन -6x_{2} ची बेरीज करची.

$$-10x_{2}+14=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$-10x_{2}=-20$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} त x_{2} खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

2क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3 कडेन \frac{7}{2} ची बेरीज करची.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x_{1} आनी x_{2} काडचीं.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} आनी 4x_{1} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x_{1}+12x_{2}=28 तल्यान 8x_{1}-8x_{2}=-12 वजा करचो.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1} कडेन 8x_{1} ची बेरीज करची. अटी 8x_{1} आनी -8x_{1} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2} कडेन 12x_{2} ची बेरीज करची.

$$20x_{2}=28+12$$

12 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$20x_{2}=40$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 त x_{2} खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

2क -4 फावटी गुणचें.

$$4x_{1}-8=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$4x_{1}=2$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$