सोडोवचें {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=-1$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-y=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$2x=y-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

y-2क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

-5x+y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{2}-1 बदलपी घेवचो.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

\frac{y}{2}-1क -5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

y कडेन -\frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

-\frac{3}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

x=\frac{1}{2}y-1 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

4क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=2-1$$

2 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=-1$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=-1$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

2x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10x+5y=10 तल्यान -10x+2y=-2 वजा करचो.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

10x कडेन -10x ची बेरीज करची. अटी -10x आनी 10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-2y=10+2$$

-2y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$3y=10+2$$

2 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$3y=12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=4$$

-5x+y=-1 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+4=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-5x=-5$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=4$$