सोडोवचें {l}{2x-5y=4}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-5y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$2x=5y+4$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

5y+4क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

3x+2y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y}{2}+2 बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=8$$

\frac{5y}{2}+2क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=8$$

2y कडेन \frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{2}y+6=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$\frac{19}{2}y=2$$

\frac{19}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{4}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2 त y खातीर \frac{4}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{4}{19}+2$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{4}{19} क \frac{5}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{10}{19}+2$$

\frac{10}{19} कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{48}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 8\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

सोंपें करचें.

$$6x-15y=12,6x+4y=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-15y=12 तल्यान 6x+4y=16 वजा करचो.

$$6x-6x-15y-4y=12-16$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-15y-4y=12-16$$

-4y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-19y=12-16$$

-16 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-19y=-4$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{19}$$

3x+2y=8 त y खातीर \frac{4}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times \frac{4}{19}=8$$

\frac{4}{19}क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{8}{19}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8}{19} वजा करचें.

$$3x=\frac{144}{19}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{48}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$