सोडोवचें {l}{2x-3y=15}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y+15$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

15+3yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

3x-2y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{15+3y}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)-2y=10$$

\frac{15+3y}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}-2y=10$$

-2y कडेन \frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}y+\frac{45}{2}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{45}{2} वजा करचें.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-5$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{15}{2}$$

-5क \frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-15+15}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{15}{2} क \frac{15}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 15+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

सोंपें करचें.

$$6x-9y=45,6x-4y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x-9y=45 तल्यान 6x-4y=20 वजा करचो.

$$6x-6x-9y+4y=45-20$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y+4y=45-20$$

4y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-5y=45-20$$

-20 कडेन 45 ची बेरीज करची.

$$-5y=25$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=-5$$

3x-2y=10 त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-2\left(-5\right)=10$$

-5क -2 फावटी गुणचें.

$$3x+10=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$3x=0$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-5$$