सोडोवचें {l}{2x-3y=-1}{5x+2y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 5 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y-1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

3y-1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

5x+2y=26 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y-1}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=26$$

\frac{3y-1}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{2}y-\frac{5}{2}+2y=26$$

2y कडेन \frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{2}y-\frac{5}{2}=26$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

\frac{19}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

3क \frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{2} क -\frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{3}{19}\times 26\\-\frac{5}{19}\left(-1\right)+\frac{2}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right),2\times 5x+2\times 2y=2\times 26$$

सोंपें करचें.

$$10x-15y=-5,10x+4y=52$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x-15y=-5 तल्यान 10x+4y=52 वजा करचो.

$$10x-10x-15y-4y=-5-52$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-15y-4y=-5-52$$

-4y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-19y=-5-52$$

-52 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$-19y=-57$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=3$$

5x+2y=26 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+2\times 3=26$$

3क 2 फावटी गुणचें.

$$5x+6=26$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$5x=20$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=3$$