सोडोवचें {l}{2x+y=8}{2x+3y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

-y+8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

2x+3y=22 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+4 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

-\frac{y}{2}+4क 2 फावटी गुणचें.

$$-y+8+3y=22$$

3y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$2y+8=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$2y=14$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{2}y+4 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

7क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

-\frac{7}{2} कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+y=8 तल्यान 2x+3y=22 वजा करचो.

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-3y=8-22$$

-3y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-2y=8-22$$

-22 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$-2y=-14$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=7$$

2x+3y=22 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\times 7=22$$

7क 3 फावटी गुणचें.

$$2x+21=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 21 वजा करचें.

$$2x=1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$