सोडोवचें {l}{2x+y=5}{6x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+5$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

-y+5क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

6x+6y=24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+5}{2} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

\frac{-y+5}{2}क 6 फावटी गुणचें.

$$-3y+15+6y=24$$

6y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$3y+15=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$3y=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

3क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

2x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

सोंपें करचें.

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+6y=30 तल्यान 12x+12y=48 वजा करचो.

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y-12y=30-48$$

-12y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$-6y=30-48$$

-48 कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$-6y=-18$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=3$$

6x+6y=24 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+6\times 3=24$$

3क 6 फावटी गुणचें.

$$6x+18=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$6x=6$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=3$$