सोडोवचें {l}{2x+y=36}{x-y=5.25}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 36 } \\ { x - y = 5.25 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=13.75$$

$$y=8.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+36$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+36\right)$$

-y+36क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+18$$

x-y=5.25 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+18 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{2}y+18-y=5.25$$

-y कडेन -\frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{3}{2}y+18=5.25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$-\frac{3}{2}y=-12.75$$

-\frac{3}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{17}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y+18 त y खातीर \frac{17}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{17}{2}+18$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{17}{2} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{17}{4}+18$$

-\frac{17}{4} कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{55}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 36+\frac{1}{3}\times 5.25\\\frac{1}{3}\times 36-\frac{2}{3}\times 5.25\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{4}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+y=36,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5.25$$

सोंपें करचें.

$$2x+y=36,2x-2y=10.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+y=36 तल्यान 2x-2y=10.5 वजा करचो.

$$2x-2x+y+2y=36-10.5$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+2y=36-10.5$$

2y कडेन y ची बेरीज करची.

$$3y=36-10.5$$

-10.5 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$3y=25.5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{17}{2}$$

x-y=5.25 त y खातीर \frac{17}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-\frac{17}{2}=5.25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{17}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{55}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$