सोडोवचें {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=8$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+18$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

-y+18क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

3x+2y=28 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+9 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

-\frac{y}{2}+9क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

2y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$\frac{1}{2}y=1$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+9 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

2क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-1+9$$

-1 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=8,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

सोंपें करचें.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+3y=54 तल्यान 6x+4y=56 वजा करचो.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-4y=54-56$$

-4y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$-y=54-56$$

-56 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$-y=-2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=2$$

3x+2y=28 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times 2=28$$

2क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+4=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$3x=24$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=2$$