सोडोवचें {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

-y+12क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

3x-2y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+6 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

-\frac{y}{2}+6क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

-2y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

-\frac{7}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{20}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+6 त y खातीर \frac{20}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{20}{7} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

-\frac{10}{7} कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{32}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

सोंपें करचें.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+3y=36 तल्यान 6x-4y=16 वजा करचो.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+4y=36-16$$

4y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$7y=36-16$$

-16 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$7y=20$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{20}{7}$$

3x-2y=8 त y खातीर \frac{20}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

\frac{20}{7}क -2 फावटी गुणचें.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{40}{7} ची बेरीज करची.

$$3x=\frac{96}{7}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{32}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$