सोडोवचें {l}{2x+y=10}{3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { 3 x = y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-y=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

-y+10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

3x-y=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+5 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+5\right)-y=0$$

-\frac{y}{2}+5क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}y+15-y=0$$

-y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{2}y+15=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-\frac{5}{2}y=-15$$

-\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=6$$

x=-\frac{1}{2}y+5 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times 6+5$$

6क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-3+5$$

-3 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-y=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-y=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3y=3\times 10,2\times 3x+2\left(-1\right)y=0$$

सोंपें करचें.

$$6x+3y=30,6x-2y=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+3y=30 तल्यान 6x-2y=0 वजा करचो.

$$6x-6x+3y+2y=30$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+2y=30$$

2y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$5y=30$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=6$$

3x-y=0 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-6=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$3x=6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=6$$