सोडोवचें {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-7$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y=-16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y-16$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

-y-16क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

-4x+10y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}-8 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

-\frac{y}{2}-8क -4 फावटी गुणचें.

$$2y+32+10y=8$$

10y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$12y+32=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 32 वजा करचें.

$$12y=-24$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y-8 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

-2क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=1-8$$

1 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-7,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

2x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

सोंपें करचें.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -8x-4y=64 तल्यान -8x+20y=16 वजा करचो.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

8x कडेन -8x ची बेरीज करची. अटी -8x आनी 8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-20y=64-16$$

-20y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-24y=64-16$$

-16 कडेन 64 ची बेरीज करची.

$$-24y=48$$

दोनुय कुशींक -24 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-4x+10y=8 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

-2क 10 फावटी गुणचें.

$$-4x-20=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$-4x=28$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=-2$$