सोडोवचें {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+9y=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y वजा करचें.

$$2x=-9y+19$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

-9y+19क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

4x+my=53 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-9y+19}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

\frac{-9y+19}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$-18y+38+my=53$$

my कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 38 वजा करचें.

$$\left(m-18\right)y=15$$

दोनुय कुशींक -18+m न भाग लावचो.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} त y खातीर \frac{15}{-18+m} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

\frac{15}{-18+m}क -\frac{9}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

-\frac{135}{2\left(-18+m\right)} कडेन \frac{19}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

सोंपें करचें.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+36y=76 तल्यान 8x+2my=106 वजा करचो.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-2my कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

-106 कडेन 76 ची बेरीज करची.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

दोनुय कुशींक 36-2m न भाग लावचो.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53 त y खातीर -\frac{15}{18-m} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

-\frac{15}{18-m}क m फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15m}{18-m} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$