सोडोवचें {l}{2x+5y=7}{-3x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+7$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

-3x+y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+7}{2} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

\frac{-5y+7}{2}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

y कडेन \frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{21}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

\frac{17}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

3क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{15}{2} क \frac{7}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

2x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

सोंपें करचें.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6x-15y=-21 तल्यान -6x+2y=30 वजा करचो.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

6x कडेन -6x ची बेरीज करची. अटी -6x आनी 6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-15y-2y=-21-30$$

-2y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-17y=-21-30$$

-30 कडेन -21 ची बेरीज करची.

$$-17y=-51$$

दोनुय कुशींक -17 न भाग लावचो.

$$y=3$$

-3x+y=15 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+3=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$-3x=12$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=3$$