सोडोवचें {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=259$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+259$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

-5y+259क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

199x-2y=1127 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+259}{2} बदलपी घेवचो.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

\frac{-5y+259}{2}क 199 फावटी गुणचें.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-2y कडेन -\frac{995y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{51541}{2} वजा करचें.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

-\frac{999}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} त y खातीर \frac{16429}{333} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{16429}{333} क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{82145}{666} क \frac{259}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{2051}{333}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x आनी 199x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 199 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

सोंपें करचें.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 398x+995y=51541 तल्यान 398x-4y=2254 वजा करचो.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

-398x कडेन 398x ची बेरीज करची. अटी 398x आनी -398x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$995y+4y=51541-2254$$

4y कडेन 995y ची बेरीज करची.

$$999y=51541-2254$$

-2254 कडेन 51541 ची बेरीज करची.

$$999y=49287$$

दोनुय कुशींक 999 न भाग लावचो.

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 त y खातीर \frac{16429}{333} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

\frac{16429}{333}क -2 फावटी गुणचें.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{32858}{333} ची बेरीज करची.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

दोनुय कुशींक 199 न भाग लावचो.

$$x=\frac{2051}{333}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$