सोडोवचें {l}{2x+5y=2}{3x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

-5y+2क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

3x+3y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{2}+1 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

-\frac{5y}{2}+1क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

3y कडेन -\frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

-\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{4}{9}$$

x=-\frac{5}{2}y+1 त y खातीर \frac{4}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{4}{9} क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

-\frac{10}{9} कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{1}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

सोंपें करचें.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+15y=6 तल्यान 6x+6y=2 वजा करचो.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y-6y=6-2$$

-6y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$9y=6-2$$

-2 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$9y=4$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=\frac{4}{9}$$

3x+3y=1 त y खातीर \frac{4}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

\frac{4}{9}क 3 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3} वजा करचें.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$